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忍術について


前回に引き続き、今回もひたすら計算です。
苦手な方にはほんとに申し訳ありません。
これを乗り越えれば、回転に関する力の意味づけができます。

１．角速度の導入

さて、前回


\frac{d\mathbb{r}}{d\phi}=-(\mathbb{r} \times \mathbb{n})=(\mathbb{n} \times \mathbb{r})

(1,4)
という式を導きました。これは位置ベクトル\mathbb{r}の角度\phiに関する微分です。
ここで、角度\phiとは図のように回転軸と切断面αとの交点Ｎを基準とした角度です。



角速度が一定で大きさを\omega、
そのベクトル\mathbb{\omega}を回転の向きに右ネジを回す方向にとります。
したがって角度\phiは時刻tの関数として、

\phi=\omega t

(2,1)
また回転軸の単位ベクトル\mathbb{n}と角速度ベクトル\mathbb{\omega}は平行ですから

\mathbb{n}=\frac{\mathbb{\omega}}{|\mathbb{\omega}|}=\frac{\mathbb{\omega}}{\omega}

(2,2)
(1,4)、(2,1)、(2,2)式より、

\frac{d\phi}{dt}=\omega
\frac{d\mathbb{r}}{dt}=\frac{d\phi}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{r}}{d\phi}=\mathbb{\omega} \times \mathbb{r}

(2,3)

２．慣性系と回転系




図のように回転軸を表す角速度ベクトル\mathbb{\omega}が原点を通るように直交座標を定め、
x,y,z軸方向への単位ベクトルをそれぞれ\mathbb{e}_x,\mathbb{e}_y,\mathbb{e}_zとすると、
座標上にある質点Ｐの位置ベクトル\mathbb{r}は、

\mathbb{r}=x\mathbb{e}_x+y\mathbb{e}_y+z\mathbb{e}_z

(2,4)
のように表されます。
いま、観測者がこの回転している系の外から観測した場合（慣性系）と、
この回転と同じようにある場合（回転系）、
慣性系()_{\sigma}、回転系()_{\sigma'}を考えます。
速度、加速度は位置の一回微分と二回微分ですから、それぞれ次のようになります。

  • 回転系の速度

回転系では観測者にとってあたかも位置\mathbb{r}_{\sigma'}は止まっているようにみえます。
したがって、


(\frac{d\mathbb{e}_x}{dt})_{\sigma'}=(\frac{d\mathbb{e}_y}{dt})_{\sigma'}=(\frac{d\mathbb{e}_z}{dt})_{\sigma'}=\vec{0}

(2,5)
となります。ここで、

\frac{d\mathbb{r}}{dt}=(\frac{dx}{dt} \mathbb{e}_x+\frac{dy}{dt} \mathbb{e}_y+\frac{dz}{dt} \mathbb{e}_z)+(x\frac{d\mathbb{e}_x}{dt}+y\frac{d\mathbb{e}_y}{dt}+z\frac{d\mathbb{e}_z}{dt})

(2,6)
よって回転系の速度\mathbb{v}_{\sigma'}は、

\mathbb{v}_{\sigma'}=(\frac{dx}{dt} \mathbb{e}_x+\frac{dy}{dt} \mathbb{e}_y+\frac{dz}{dt} \mathbb{e}_z)

(2,7)

  • 慣性系の速度

慣性系では式(2,3)に倣って、\mathbb{e}_x, \, \mathbb{e}_y, \, \mathbb{e}_zについても、


(\frac{d\mathbb{e}_x}{dt})_{\sigma}=\mathbb{\omega} \times \mathbb{e}_x,(\frac{d\mathbb{e}_y}{dt})_{\sigma}=\mathbb{\omega} \times \mathbb{e}_y,(\frac{d\mathbb{e}_z}{dt})_{\sigma}=\mathbb{\omega} \times \mathbb{e}_z

(2,8)
ですから、式(2,6)から、

\mathbb{v}_{\sigma}=\mathbb{v}_{\sigma'}+\mathbb{\omega} \times \mathbb{r}

(2,9)

  • 回転系の加速度


\frac{d^2\mathbb{r}}{dt^2}=(\frac{d^2{x}}{dt^2}\mathbb{e}_x+\frac{d^2{y}}{dt^2}\mathbb{e}_y+\frac{d^2{z}}{dt^2}\mathbb{e}_z)+(x\frac{d^2\mathbb{e}_x}{dt^2}+y\frac{d^2\mathbb{e}_y}{dt^2}+z\frac{d^2\mathbb{e}_z}{dt^2})


+2(\frac{dx}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{e}_x}{dt}+\frac{dy}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{e}_y}{dt}+\frac{dz}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{e}_z}{dt})
(2,10)
回転系の加速度\mathbb{a}_{\sigma'}は式(2,5)より、

\mathbb{\a}_{\sigma'}=(\frac{d^2{x}}{dt^2}\mathbb{e}_x+\frac{d^2{y}}{dt^2}\mathbb{e}_y+\frac{d^2{z}}{dt^2}\mathbb{e}_z)

(2,11)

  • 慣性系の加速度

式(2,9)、角速度が一定であることを用いて


\mathbb{\a}_{\sigma}=\frac{d}{dt}(\mathbb{v}_{\sigma'}+\omega \times \mathbb{r})_{\sigma} \\=\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt} \mathbb{e}_x+\frac{dy}{dt} \mathbb{e}_y+\frac{dz}{dt} \mathbb{e}_z)_{\sigma}+(\frac{d\mathbb{\omega}}{dt} \times \mathbb{r})_{\sigma}+(\mathbb{\omega} \times \frac{d\mathbb{r}}{dt})_{\sigma} \\=(\frac{d^2{x}}{dt^2}\mathbb{e}_x+\frac{d^2{y}}{dt^2}\mathbb{e}_y+\frac{d^2{z}}{dt^2}\mathbb{e}_z)+(\frac{dx}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{e}_x}{dt}+\frac{dy}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{e}_y}{dt}+\frac{dz}{dt} \cdot \frac{d\mathbb{e}_z}{dt})+\vec{0}+\mathbb{\omega} \times \mathbb{v}_{\sigma} \\=\mathbb{\a}_{\sigma'}+{\frac{dx}{dt}(\mathbb{\omega} \times \mathbb{e}_x)+\frac{dy}{dt}(\mathbb{\omega} \times \mathbb{e}_y)+\frac{dz}{dt}(\mathbb{\omega} \times \mathbb{e}_z)}+\mathbb{\omega} \times (\mathbb{v}_{\sigma'}+\omega \times \mathbb{r}) \\=\mathbb{\a}_{\sigma'}+2{\mathbb{\omega} \times \mathbb{v}_{\sigma'}+\mathbb{\omega} \times (\mathbb{\omega} \times \mathbb{r})}

(2,12)

３．遠心力と転向力

したがって式(2,12)に質量mをかけて、運動方程式、


m\mathbb{\a}_{\sigma}=m\mathbb{\a}_{\sigma'}+2m{\mathbb{\omega} \times \mathbb{v}_{\sigma'}+m\mathbb{\omega} \times (\mathbb{\omega} \times \mathbb{r})}

(2,13)
を得ます。このうち、
-m\mathbb{\omega} \times (\mathbb{\omega} \times \mathbb{r})を遠心力
-2m{\mathbb{\omega} \times \mathbb{v}_{\sigma'}を転向力（コリオリの力）
といいます。これらの力がどのようなものか、次回、具体的に見ていきたいと思います。