■ - ナルト世界の謎を紐解く

以前、チャクラは波動であるとして考えました。*1
この考え方を少し発展させて螺旋丸についての
波動現象を考えてみようと思います。

１．波動方程式の導出（１）

さて天下り的になりますが、あまねく波動現象は、
以下の偏微分方程式に帰着します。

$$ \triangle - \frac{1}{v^2} \frac{{\part}^2}{\part t^2} $\mathbb{U} = 0$

(*1)

ここで、ラプラシアン $\triangle$ は
$\triangle \equiv \frac{{\part}^2}{\part x^2}+\frac{{\part}^2}{\part y^2}+\frac{{\part}^2}{\part z^2}$
です。(*1)式を"波動方程式"と呼びます。

遡りますが、チャクラは電磁気に似た性質があるので、
電磁気学的にとらえてみたことがありました。*2
このように考えてチャクラ波を電磁波のように扱うならば、
チャクラ磁場 $\mathbb{B}$ 、チャクラ電場 $\mathbb{E}$
チャクラ流密度 $\mathbb{j}$ 、チャクラ荷密度 $\rho$ 、定数 $\epsilon,\mu$ を用いて、
マクスウェルの方程式は次のように表されます。

$\nabla \cdot \mathbb{B} = 0$
$\nabla \times \mathbb{E} + \frac{\part \mathbb{B}}{\part t}=\vec{0}$
$\nabla \cdot \mathbb{E} = \frac{\rho}{\epsilon}$
$\nabla \times \mathbb{B} - {\mu}{\epsilon}\frac{\part \mathbb{E}}{\part t} = \mathbb{j}$

真空中（何もない空間）について波動が伝播することを考えると、
$\rho = 0$ かつ $\mathbb{j}=\vec{0}$ は明らかなので、

$\nabla \cdot \mathbb{B} = 0$
$\nabla \times \mathbb{E} + \frac{\part \mathbb{B}}{\part t}=\vec{0}$
$\nabla \cdot \mathbb{E} = 0$
$\nabla \times \mathbb{B} - {\mu}{\epsilon}\frac{\part \mathbb{E}}{\part t} = \vec{0}$

として考えることができます。さて、

$\nabla \times (\nabla \times \mathbb{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbb{A}) - \triangle \mathbb{A}$

が純粋に数学的に成り立ちますので、
第２式について両辺に回転(rot)をとると、

$\nabla(\nabla \cdot \mathbb{E}) - \triangle \mathbb{E} + \frac{\part}{\part t}(\nabla \times \mathbb{B}) = \vec{0}$

第１式および第４式から

$- \triangle \mathbb{E} + {\mu}{\epsilon} \frac{{\part}^2 \mathbb{E}}{\part t^2} = \vec{0}$

すなわち

$$ \triangle - {\mu}{\epsilon} \frac{{\part}^2}{\part t^2} $ \mathbb{E} = \vec{0}$

(*2)

となって、これは

$v=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$

とした(*1)式の波動方程式となります。

２．波動方程式の導出（２）

しかしこれではイメージがいまいちわきにくいので、
単純に弦の振動について考えてみましょう。
以下のように線密度 $\rho$ の弦について
ある位置 $x$ を中心として、
位置と距離に支配される弦のある点の高さを $u(x,t)$ とした
微小距離 $dx$ ずつ離れた点の弦の運動について考えます。

それぞれの点での張力を等しく $T$ とおけて、
それぞれ張力が水平となす角度を $\theta_1,\theta_2$ とおきます。
線密度 $\rho$ ですから、幅 $2dx$ の弦の質量は、

$m = \rho \cdot 2dx$

と書けます。またこの弦の運動の垂直方向の加速度は、

$a = \frac{{\part}^2 u(x,t)}{\part t^2}$

とおけます。したがって、

$ma = \rho \frac{{\part}^2 u(x,t)}{\part t^2} \cdot 2dx$

(*3)

一方で弦の運動に関わる力は張力ですので、
垂直方向について力を分解して考えると、

$ma = F = Tsin{\theta}_1 -Tsin{\theta}_2$

弦が動き始めのとき $\theta$ は微小となるので、
$cos \theta \simeq 1$ 、 $sin \theta \simeq tan \theta = \frac{\part u(x,t)}{\part x}$ と近似できて、

$\begin{eqnarray} F &=& T $ \frac{\part u(x,t)}{\part x}|_{x=x+dx} - \frac{\part u(x,t)}{\part x}|_{x=x-dx} $ \\ &=& T \frac{ $ \frac{\part u(x,t)}{\part x}|_{x=x+dx} - \frac{\part u(x,t)}{\part x}|_{x=x-dx} $ }{(x+dx)-(x-dx)} \cdot 2dx \\ &=& T\frac{{\part}^2 u(x,t)}{\part x^2} \cdot 2dx \end{array}$

(*4)

(*3)式と(*4)式より、

$\frac{{\part}^2 u(x,t)}{\part x^2} = \frac{1}{(\sqrt{\frac{T}{\rho}})^2} \frac{{\part}^2 u(x,t)}{\part t^2}$

(*5)

が導かれます。
これは(*1)式の１次元（x方向だけを見たもの）の場合です。
より一般的（３次元）に見たものが(*1)式となります。

*1:【チャクラの性質と波】

*2:【神羅天征と電磁気３・アンペール・マクスウェルの法則】