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忍術について


いよいよフーリエ変換です。

１．フーリエ変換（１）

関数 f(x) を一般区間 [T,-T ] で、
複素フーリエ級数展開すると以下のようになるのでした。


f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{2T}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i\frac{n\pi}{T}x}

(*1)

c_n = \frac{1}{\sqrt{2T}} \int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{T}t} dt

(*2)

これらをまとめると次のように書けます。


f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \, \{ \frac{1}{2T} \( \int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(x)e^{-i \frac{n\pi}{T}x} dx \) e^{i\frac{n\pi}{T}x} \}

(*3)
ここで、

\frac{n\pi}{T} = k
\Delta k = \frac{(n+1)\pi}{T}-\frac{n\pi}{T} = \frac{\pi}{T} = \frac{k}{n}

のようにおくと、

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \, \{ \frac{\Delta k}{2\pi} \( \int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(x)e^{-ikx} dx \) e^{ikx} \}

ここで T \rightarrow \infty とすれば、\sum \Delta k \rightarrow \int dk となって、

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\qquad -\infty}^{\qquad \qquad \qquad \infty} \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\qquad -\infty}^{\qquad \qquad \qquad \infty} f(x)e^{-ikx} dx \) e^{ikx}dk

(*4)
が導けます。ここで、(*4)式について、

\mathfrak{F}(f(x)) =F(k) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\qquad -\infty}^{\qquad \qquad \qquad \infty} f(x)e^{-ikx} dx
\mathfrak{F}^{\small -1}(F(k)) =f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\qquad -\infty}^{\qquad \qquad \qquad \infty} F(k) e^{ikx} dk

(*5)
と定義できます。ここで

\mathfrak{F}(f(x))

を"フーリエ変換"、

\mathfrak{F}^{\small -1}(F(k))

を"フーリエ逆変換"といいます。

２．フーリエ変換（２）

この先、螺旋丸の説明では、
このフーリエ変換を計算の技巧上用いるのですが、
フーリエ変換は単なる計算上の技巧にとどまらず
物理学的、数学的意味でも非常に大切なもので、
奥が深く応用も大変に効く素晴らしいものです。
至極簡単な説明になりますが、
ある関数 f(x) をフーリエ変換\mathfrak{F}(f(x)) すると、
周波数kの空間に変換されます。
そこでは関数 f(x) にどれだけの周波数の関数が、
どれだけ含まれているか――すなわち、
関数 f(x) はどんな周波数の関数が、
どれだけ重ね合わせられているか、を表現することができるのです。
重ね合わせで表現されているという例を以下に示します。



具体的に[tex:f(x)=x (-\pi

この仕組みは、これまで示してきたことから、
容易に想像できます。

【掌の上の螺旋丸４・正規直交関数列とフーリエ級数】*1にて、
関数を三角関数の和で次のように表しました。


f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx +b_n sinnx)

ここで、

cosnx = \frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}
sinnx = \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} = -i \(\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2} \)

のように表せるので、

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx} ]

(*6)
さらに、

(\frac{a_n-ib_n}{2})^{*} = \frac{a_n + ib_n}{2}

と共役であることから、(*6)式をまとめることができて、

f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}

(*7)

c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)e^{-inx} dx

(*8)
と表現され、前回*2求めた
複素フーリエ級数展開の係数 c_n を工夫したものに帰着します。
これはフーリエ級数展開のお話ですが、
フーリエ変換はこの範囲を無限にとったものなので、
フーリエ級数の自然な拡張と考えて良いです。
ここからフーリエ変換がどんな周波数（あるいは周期）をもった
波の合成（重ね合わせ）であるのかを表現することが分かります。

*1:【掌の上の螺旋丸４・正規直交関数列とフーリエ級数】

*2:【掌の上の螺旋丸５・複素フーリエ級数】