■ - ナルト世界の謎を紐解く

１．一般周期のフーリエ級数

関数 $f(x)$ を区間 $[-\pi,\pi ]$ （周期２π）で
フーリエ級数展開すると、

$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx + b_n sinnx)$

(*1)

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)dx$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)cosnx dx$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)sinnx dx$

(*2)

と書けるのでした。
そこでこれを一般の区間 $[ -T,T ]$ について、
フーリエ級数展開できるように拡張します。
今、次のような対応関係を考えます。

$\frac{T}{\pi}x = t \\ \therefore \{ \frac{T}{\pi}x \qquad \qquad [-\pi,\pi ]_x \\ \frac{\pi}{T}t \qquad \qquad [ -T,T ]_t$

(*3)

さて、このように考えたとき、
$g(x) = f(\frac{T}{\pi}x)$ は $x$ の関数であり、
結局次のようにかけます。

$g(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx + b_n sinnx)$

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(\frac{T}{\pi}x) dx$
$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(\frac{T}{\pi}x)cosnx dx$
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(\frac{T}{\pi}x)sinnx dx$

(*3)のような対応関係を用いれば、
すぐさま次のように書き直せます。

$f(t) \sim \frac{a_0'}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} $ a_n' cos ( \frac{n\pi}{T}t ) + b_n' sin ( \frac{n\pi}{T}t ) $$

(*4)

$a_0' = \frac{1}{T}\int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(t) dt$
$a_n' = \frac{1}{T}\int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(t)cos ( \frac{n\pi}{T}t ) dt$
$b_n' = \frac{1}{T}\int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(t)sin ( \frac{n\pi}{T}t ) dt$

(*5)

これで $t$ について
一般の区間 $[ -T,T ]$ （周期２Ｔ）に拡張できました。

２．複素フーリエ級数展開

前回*1と同じように、区間 $[ -\pi,\pi ]$ において、
次の正規直交関数列を考えます。

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\{ e^{-inx},e^{-i(n-1)x}, \cdots, e^{-i2x},e^{-ix},1,e^{ix},e^{i2x}, \cdots ,e^{i(n-1)x},e^{inx} \}$

(*6)

(*6)の関数列が正規直交関数であるのは、次により示せます。
【１】 $e^{inx},e^{imx}$ が互いに共役でないとき
オイラーの公式
$e^{\pm i \pi}=cos(\pi) \pm sin(\pi) = -1$
より、

$\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} e^{inx} \cdot e^{imx} dx &=& \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} e^{i(m+n)x} dx \\ &=& [ \frac{e^{(m+n)}}{i(m+n)}e^{ix} ]_{-\pi}^{\pi} = 0 \end{array}$

【２】 $e^{inx},e^{imx}$ が互いに共役なとき

$\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} e^{inx} \cdot (e^{inx})^* dx &=& \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} e^{inx} \cdot e^{-inx} dx \\&=& \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} dx =2\pi \end{array}$

したがって、nを負の無限大から正の無限大までの"整数"とすると、
関数 $f(x)$ は次のように展開できます。

$f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{inx}$

(*7)

$c_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)e^{-inx} dx$

(*8)

このように複素指数関数領域でフーリエ級数展開することを、
"複素フーリエ級数展開"といいます。
ここで (*5)式のように区間を一般区間 $[-T,T ]$ にとると、
同様にして以下が導かれます。

$f(t) \sim \frac{1}{\sqrt{2T}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n' e^{i\frac{n\pi}{T}t}$

(*9)

$c_n' = \frac{1}{\sqrt{2T}} \int_{\qquad -T}^{\qquad \qquad \qquad T} f(t)e^{-i\frac{n\pi}{T}t} dt$

(*10)

*1:【掌の上の螺旋丸４・正規直交関数列とフーリエ級数】