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忍術について


前回までで、極座標を導入していたのに、
それを全く使っていなかったのには理由があって、
実は螺旋丸のお話はまだ続きがあります。
そのためにどうしても必要となる数学の道具として、
フーリエ変換について触れておこうと思います。
まず前座としてフーリエ級数展開のお話です。

１．正規直交関数列とフーリエ級数展開（１）

直交系の話に入る前に、
関数同士の内積について述べておきます。
例えば２次元ベクトル同士の内積について、
次のように書けます。


\mathbb{a} \cdot \mathbb{b} = (a_1,a_2) \cdot (b_1,b_2) = a_1b_1+a_2b_2

これをn個の要素をもつn次元ベクトルに拡張すると

\mathbb{a}=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)

となるので、n次元ベクトル同士の内積は，

\mathbb{a}\cdot \mathbb{b}=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i

と書けます。ここで関数f(x),g(x)をベクトルと考えると、
あるx_i において f(x_i),g(x_i) が得られるとして、
これらの内積は次のように書けます。
ここで、[tex:] は関数同士の内積を表すものとします。

[tex:=f(x_i) \cdot g(x_i)]

区間 [-L,L ] において，区間をn等分したとき，
関数同士の内積はn次元ベクトル同士の内積と見なせて、

[tex:=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)g(x_i)]

と書けます。このnを無限に細かくしていくと、
この区間 [-L,L ] について内積は、

[tex:=\int_{\qquad -L}^{\qquad \qquad \qquad L}f(x_i)g(x_i)dx]

(*1)
と書けます。これが関数同士の内積の定義です。
したがって、関数同士が直交しているとは、

[tex:=\int_{\qquad -L}^{\qquad \qquad \qquad L}f(x_i)g(x_i)dx=0]

(*2)
ということになります。
また自分同士との内積（複素関数の場合は共役な関数との内積）をとると、

[tex:=\int_{\qquad -L}^{\qquad \qquad \qquad L}f(x_i){f^{*}(x_i)}dx=k]

とある定数値 k をとったとします。
この k=1 のときを特に正規直交関数といいます。

２．正規直交関数列とフーリエ級数展開（２）

天下り的ですが、区間[-\pi,\pi ]について次の関数列を考えます。


\frac{1}{\sqrt{\pi}} \{ \frac{1}{\sqrt{2}} \, ,cosx,sinx,cos2x,sin2x \cdots cosnx,sinnx \}

(*3)
これらは正規直交関数列であることが、
次の積分から言えます。なおn,mはここで自然数とします。

\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi}\frac{cosnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{cosmx}{\sqrt{\pi}}dx = \{ 0 \quad(n \neq m) \\1 \quad(n = m)
\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi}\frac{sinnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{sinmx}{\sqrt{\pi}}dx = \{ 0 \quad(n \neq m) \\1 \quad(n = m)
\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi}\frac{cosnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{sinmx}{\sqrt{\pi}}dx = 0

(*4)
したがって、(*3)は正規直交関数列（正規直交関数の集まり）と言えます。
するとある関数f(x)について、
先の(*3)の事実からn次元ベクトルの"軸"をこれらの関数方向にとれば、
係数 a_0,a_n,b_n を用いて次のようにn次元に分解できます。

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx +b_n sinnx)

(*5)
ここで馴染みの少ない \sim ですが、
左辺と右辺が同じものであることを等号 = より強調したものです。
n,mは自然数とします。
係数 a_0,a_n,b_n については、
(*4)より次のように簡単に求まります。
【１】a_0：両辺を区間 [-\pi,\pi ] で積分し1/\pi倍する。

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)dx

(*6)
【２】a_n：両辺に cosnx をかけ区間 [-\pi,\pi ] で積分し1/\pi倍する。

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)cosnx dx

(*7)
【３】b_n：両辺に sinnx をかけ区間 [-\pi,\pi ] で積分し1/\pi倍する。

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} f(x)sinnx dx

(*8)
このようにして関数f(x)を展開することを、
"フーリエ級数展開"といいます。

３．補足

補足として(*4)の積分について詳細にしておきます。
＜１＞m \neq nの場合
\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi}\frac{cosnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{cosmx}{\sqrt{\pi}}dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{1}{2}\{ cos(n+m)x +cos(n-m)x \} dx \\ &=& \frac{1}{2\pi}[\frac{sin(n+m)x}{n+m}+\frac{sin(n-m)x}{n-m} ]_{-\pi}^{\pi} \qquad =0 \end{array}
\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi}\frac{sinnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{sinmx}{\sqrt{\pi}}dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} -\frac{1}{2}\{ cos(n+m)x -cos(n-m)x \} dx \\ &=& -\frac{1}{2\pi}[\frac{sin(n+m)x}{n+m}-\frac{sin(n-m)x}{n-m} ]_{-\pi}^{\pi} \qquad =0 \end{array}
\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi}\frac{cosnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{sinmx}{\sqrt{\pi}}dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{1}{2}\{ sin(n+m)x -sin(n-m)x \} dx \\ &=& \frac{1}{2\pi}[-\frac{cos(n+m)x}{n+m}+\frac{cos(n-m)x}{n-m} ]_{-\pi}^{\pi} \qquad =0 \end{array}

＜２＞m=nの場合
\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{(cosnx)^2}{\pi}dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{1+cos2nx}{2}dx \\ &=& \frac{1}{2\pi} [ x + \frac{sin2nx}{2n} ]_{-\pi}^{\pi} \qquad = 1 \end{array}
\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{(sinnx)^2}{\pi}dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{1-cos2nx}{2}dx \\ &=& \frac{1}{2\pi} [ x - \frac{sin2nx}{2n} ]_{-\pi}^{\pi} \qquad = 1 \end{array}
\begin{eqnarray} \int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{cosnx}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{sinnx}{\sqrt{\pi}}dx &=& \frac{1}{\pi}\int_{\qquad -\pi}^{\qquad \qquad \qquad \pi} \frac{sin2nx}{2}dx \\ &=& \frac{1}{2\pi} [ -\frac{cos2nx}{2n} ]_{-\pi}^{\pi} \qquad = 0 \end{array}