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忍術について


昨日に引き続きで本題に入れず申し訳ありませんが、
さらに"極座標"とその"ラプラシアン"
についても導入しておきます。

１．直交座標のラプラシアン

直交座標（カーテシアン座標）において、
ナブラは以下のような演算子ベクトルでした。


\nabla = \mathbb{e}_x \frac{\part}{\part x} + \mathbb{e}_y \frac{\part}{\part y} + \mathbb{e}_z \frac{\part}{\part z} = (\frac{\part}{\part x},\frac{\part}{\part y},\frac{\part}{\part z})

（ \mathbb{e}_x,\mathbb{e}_y,\mathbb{e}_z はx,y,z方向の単位ベクトル。）
ここで、ナブラ同士の内積、

\nabla \cdot \nabla = {\nabla}^2 = \triangle

において \triangle をラプラシアンといいます。
直交座標におけるラプラシアン \triangle_{\small x,y,z} は、

\mathbb{e}_x \cdot \mathbb{e}_y = 0 \qquad \mathbb{e}_y \cdot \mathbb{e}_z = 0 \qquad \mathbb{e}_z \cdot \mathbb{e}_x = 0
\frac{\part \mathbb{e}_x}{\part x} = \vec{0} \qquad \frac{\part \mathbb{e}_y}{\part y} = \vec{0} \qquad \frac{\part \mathbb{e}_z}{\part z} = \vec{0}

より、次のように書けます。


\triangle_{\small x,y,z}=\frac{{\part}^2}{\part x^2}+\frac{{\part}^2}{\part y^2}+\frac{{\part}^2}{\part z^2}
(*4)

２．三次元の極座標の導入

三次元の極座標を考えます。極座標は
原点からの距離r、z軸からの角度θ、x軸からの角度φ
で与えられる座標です。




この図からすぐに、

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatirix} = \begin{pmatrix} rsin{\theta}cos{\phi} \\ rsin{\theta}sin{\phi} \\ rcos{\theta} \end{pmatirix}

と与えられます。ここで各成分をr、θ、φの全微分で表すと、

\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{r}sin{\theta}cos{\phi} + r \dot{\theta}cos{\theta}cos{\phi} - rsin{\theta} \dot{\phi}sin{\phi} \\ \dot{r}sin{\theta}sin{\phi} + r \dot{\theta}cos{\theta}sin{\phi} + rsin{\theta} \dot{\phi}cos{\phi} \\ \dot{r}cos{\theta} -r\dot{\theta}sin{\theta} + 0 \end{pmatrix}

したがって、これは

\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin{\theta}cos{\phi} & cos{\theta}cos{\phi} & -sin{\phi} \\ sin{\theta}sin{\phi} & cos{\theta}sin{\phi} & cos{\phi} \\ cos{\theta} & -sin{\theta} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r\dot{\theta} \\ rsin{\theta}\dot{\phi} \end{pmatrix}

となります。
ここで極座標における単位体積を考えると、
以下の図のようになります。*1



辺々が r,rd\theta,rsin{\theta}d\phi の微小体積として考えています。
\theta や \phi は長さの次元を持たないので、
微小弧の長さとして扱っているのが分かります。
したがって極座標におけるr、θ、φにおける
単位ベクトル \mathbb{e}_r,\mathbb{e}_{\theta},\mathbb{e}_{\phi}は

\begin{pmatrix} \mathbb{e}_x \\ \mathbb{e}_y \\ \mathbb{e}_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin{\theta}cos{\phi} & cos{\theta}cos{\phi} & -sin{\phi} \\ sin{\theta}sin{\phi} & cos{\theta}sin{\phi} & cos{\phi} \\ cos{\theta} & -sin{\theta} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbb{e}_r \\ \mathbb{e}_{\theta} \\ \mathbb{e}_{\phi} \end{pmatrix}
(*5)
となります。また逆行列をかけることにより、

\begin{pmatrix} \mathbb{e}_r \\ \mathbb{e}_{\theta} \\ \mathbb{e}_{\phi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin{\theta}cos{\phi} & sin{\theta}sin{\phi} & cos{\theta} \\ cos{\theta}cos{\phi} & cos{\theta}sin{\phi} & -sin{\theta} \\ -sin{\phi} & cos{\phi} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbb{e}_x \\ \mathbb{e}_y \\ \mathbb{e}_z \end{pmatrix}
(*6)


３．極座標のラプラシアン

極座標における\nabla_{\small r,\theta,\phi}をまず考えます。

\{ \begin{eqnarray} &\frac{\part}{\part r}& = \frac{\part x}{\part r} \cdot \frac{\part}{\part x} = sin{\theta}cos{\phi} \frac{\part}{\part x} \\ &\frac{\part}{\part r}& = \frac{\part y}{\part r} \cdot \frac{\part}{\part y} = sin{\theta}sin{\phi} \frac{\part}{\part y} \\ &\frac{\part}{\part r}& = \frac{\part z}{\part r} \cdot \frac{\part}{\part z} = cos{\theta} \frac{\part}{\part z} \end{array}
\{ \begin{eqnarray} &\frac{\part}{\part \theta}& = \frac{\part x}{\part \theta} \cdot \frac{\part}{\part x} = rcos{\theta}cos{\phi} \frac{\part}{\part x} \\ &\frac{\part}{\part \theta}& = \frac{\part y}{\part \theta} \cdot \frac{\part}{\part y} = rcos{\theta}sin{\phi} \frac{\part}{\part y} \\ &\frac{\part}{\part \theta}& = \frac{\part z}{\part \theta} \cdot \frac{\part}{\part z} = -rsin{\theta} \frac{\part}{\part z} \end{array}
\{ \begin{eqnarray} &\frac{\part}{\part \phi}& = \frac{\part x}{\part \phi} \cdot \frac{\part}{\part x} = -rsin{\theta}sin{\phi} \frac{\part}{\part x} \\ &\frac{\part}{\part \phi}& = \frac{\part y}{\part \phi} \cdot \frac{\part}{\part y} = rsin{\theta}cos{\phi} \frac{\part}{\part y} \\ &\frac{\part}{\part \phi}& = \frac{\part z}{\part \phi} \cdot \frac{\part}{\part z} = 0 \end{array}

となるので、結局


\nabla_{\small r,\theta ,\phi} = \mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r} + \mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta}+\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}
(*6)

さてここから極座標のラプラシアンを導出しましょう。
ところで単位ベクトル \mathbb{e}_r,\mathbb{e}_{\theta},\mathbb{e}_{\phi} は、
他の成分がかかっているので、
微分して傾きが０であるとは限りません。
(*6)式によってr、θ、φ方向の単位ベクトルが与えられるので、
それぞれ確認してみます。

\frac{\part \mathbb{e}_r}{\part r} = (0,0,0) = \vec{0}
\frac{\part \mathbb{e}_{\theta}}{\part r} = (0,0,0) = \vec{0}
\frac{\part \mathbb{e}_{\phi}}{\part r} = (0,0,0) = \vec{0}
\frac{\part \mathbb{e}_r}{\part \theta} = (cos{\theta}cos{\phi},cos{\theta}sin{\phi},-sin{\theta}) = \mathbb{e}_{\theta}
\frac{\part \mathbb{e}_{\theta}}{\part \theta} = (-sin{\theta}cos{\phi},-sin{\theta}sin{\phi},-cos{\theta}) = -\mathbb{e}_r
\frac{\part \mathbb{e}_{\phi}}{\part \theta} = (0,0,0) = \vec{0}
\frac{\part \mathbb{e}_r}{\part \phi} = (-sin{\theta}cos{\phi},sin{\theta}cos{\phi},0) = sin{\theta} \mathbb{e}_{\phi}
\frac{\part \mathbb{e}_{\theta}}{\part \phi} = (-cos{\theta}sin{\phi},cos{\theta}cos{\phi},0) = cos{\theta} \mathbb{e}_{\phi}
\frac{\part \mathbb{e}_{\phi}}{\part \phi} = (-cos{\phi},-sin{\phi},0)

となります。したがって、

\triangle_{\small r,\theta,\phi} \\ = \nabla_{\small r,\theta,\phi} \cdot \nabla_{\small r,\theta,\phi} \\ = (\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r} + \mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta}+\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}) \cdot (\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r} + \mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta}+\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}) \\ = \mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r}(\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r})+\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r}(\mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta})+\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r}(\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}) \\ \qquad +\mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta}(\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r})+\mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta}(\mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta})+\mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta}(\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}) \\ \qquad+ \mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}(\mathbb{e}_r \frac{\part}{\part r})+\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}(\mathbb{e}_{\theta} \, \frac{\, 1 \, }{\, r \,}\frac{\part}{\part \theta})+\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi}(\mathbb{e}_{\phi} \, \frac{1}{rsin{\theta}}\frac{\part}{\part \phi})

ここで、単位ベクトルの微分の式と、
各単位ベクトルの内積が０であること


\mathbb{e}_r \cdot \mathbb{e}_{\theta}=0 \qquad \mathbb{e}_{\theta} \cdot \mathbb{e}_{\phi}=0 \qquad \mathbb{e}_{\phi} \cdot \mathbb{e}_r=0

および、

\mathbb{e}_{\phi} \, \cdot \, \frac{\part \mathbb{e}_{\phi}}{\part \phi} = 0

となることを用いて整理すると、

\triangle_{\small r,\theta,\phi} \\ = \frac{{\part}^2}{\part r^2} + \frac{\, 2 \,}{r}\frac{\part}{\part r}+\frac{\, 1 \,}{r^2}\frac{{\part}^2}{\part {\theta}^2}+\frac{1}{r^2 tan{\theta}}\frac{\part}{\part \theta} + \frac{1}{r^2{sin}^2\theta}\frac{{\part}^2}{\part {\phi}^2} \\ = \frac{\, 1 \,}{r^2}\frac{\part}{\part r}(r^2 \frac{\part}{\part r})+\frac{1}{r^2sin{\theta}}\frac{\part }{\part \theta}(sin{\theta} \frac{\part }{\part \theta})+\frac{1}{r^2{sin}^2\theta}\frac{{\part}^2}{\part {\phi}^2}
(*7)
となって、極座標でのラプラシアンが求められました。

*1:微小体積の図はhttp://www.bk.tsukuba.ac.jp/~makimura/Biseki.01/figs/polar3d.pdfより引用させていただいています。