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忍術について

螺旋丸がナルトの掌の上で
あたかも静止しているように見える理由を、
少し逸脱しますがベクトル解析を用いて
説明してみようと思います。

その過程の計算で"面積分"というものを導入するので、
軽く説明しておきます。

１．面積分の導入（１）：スカラー場

ある空間上の滑らかな曲面Sが
媒介変数u,vを用いた位置ベクトル


\mathbb{r}=\mathbb{r(u,v)}=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
(*1)
によって表されます。
スカラー場（ある座標が決まると数値が決まる）が、
この空間上に存在するとき、それが

f(\mathbb{r})=f(x,y,z)

と表されるとします。曲面S上で
このスカラー場による影響（数値）の合計を考えるとき、
曲面Sを非常に小さく分割したものを考え、
その面積と数値をかけあわせた値の曲面全体での総和が
求めるものの答えとなります。
つまりn個に分割した面の面積とスカラー場の値との対応を
無限に分割することによって得られるもの、

\begin{eqnarray} \Omega &=& \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\mathbb{r}_i)S_i \\ &=& \int \int_{\qquad S} \qquad f(x,y,z) dS\end{array}

がスカラー場における面積分です。
ある分割面の位置ベクトル\mathbb{r}_iにおけるスカラー値をf(\mathbb{r}_i)
その位置での分割面の面積をS_iとします。

面積素dSは、
その面の面積をもつ法線ベクトルの大きさと考えて、
u,v方向の面の接線ベクトル同士の外積の大きさに
du,dvを掛けたものになります。すなわち、


dS = ||\frac{\part \mathbb{r}}{\part u} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part v}||dudv

です。よって、

\Omega = \int \int_{\qquad S} \qquad f(x,y,z) ||\frac{\part \mathbb{r}}{\part u} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part v}||dudv
(*2)
となります。


(追記)
上述は媒介変数u,vを用いた一般的な場合を考えていますが、
次のように面積素dSをxy平面に投影して考えても良いです。
すなわち曲面Sが

z = g(x,y)

によって与えられるとき、
曲面S上の位置ベクトル\mathbb{r}は、

\mathbb{r}=(x,y,g(x,y))

によって与えられます。
このとき曲面Sの接平面を表す法線ベクトルは、

\frac{\part \mathbb{r}}{\part x} = (1,0,\frac{\part g}{\part x})
\frac{\part \mathbb{r}}{\part y} = (0,1,\frac{\part g}{\part y})

による２つの接線ベクトルによってつくられる外積ベクトルで表され、
その単位ベクトルを\mathbb{n}とすると、

\mathbb{n} = \frac{\frac{\part \mathbb{r}}{\part x} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part y}}{|\frac{\part \mathbb{r}}{\part x} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part y}|}

と表すことができます。
接平面をつくる２つのベクトルによってつくられる
外積ベクトル\frac{\part \mathbb{r}}{\part x} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part y}の大きさは、
その２つのベクトルでつくられる接平面の面積を表すことを別法では用いましたが、
ここではより丁寧に考えることにしましょう。
ところで曲面Sの微小区域を考え、
この微小曲面dSでの法線ベクトルも同様に与えることができます。
ここで法線ベクトル\mathbb{n}とz軸のなす角度を\gammaとします。
曲面Sをxy平面に投影したとき投影面をS'として
投影微小面dS'の面積dxdyは、

dxdy = |cos \gamma|dS

で与えることができます。
また\mathbb{n}と、z軸方向の単位ベクトル\mathbb{e}_z = (0,0,1)の
なす角度が\gammaであることから、

cos \gamma = \frac{\mathbb{n} \cdot \mathbb{e}_z}{|\mathbb{n}||\mathbb{e}_z|} = \frac{1}{|\mathbb{n}|}

で表すことができます。よって、

dS = |\mathbb{n}|dxdy = \sqrt{1+(\frac{\part g}{\part x})^2+(\frac{\part g}{\part y})^2}dxdy

となります。したがって求める面積分は

\Omega = \int \int_{\qquad S'} \qquad f(x,y,z) \sqrt{1+(\frac{\part g}{\part x})^2+(\frac{\part g}{\part y})^2} dxdy

となります。



２．面積分の導入（２）：ベクトル場

(*1)の位置ベクトルで表される曲面において今度は、
ベクトル場（ある座標が決まると、向きと大きさが決まる）
において同様に考えていくことにしましょう。
今度はこの面を貫く矢印（ベクトル場のベクトル）に対して
面の法線ベクトルと一致する方向、
つまりこれらの内積の量だけカウントします。
つまり面が向いてる方向を貫いた矢印の大きさが、
その面に対してどれだけあるか（正味の量）を考えるのです。
面の単位法線ベクトル\mathbb{n}、
ベクトル場\mathbb{F}=(F_x,F_y,F_z)に対して、
面積分は以下のようになります。


\Omega = \int \int_{\qquad S} \qquad \mathbb{F} \cdot \mathbb{n} dS

ここで単位法線ベクトル\mathbb{n}は、
先ほどスカラーのときに考えた外積ベクトル\frac{\part \mathbb{r}}{\part u} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part v}
と向きは等しくこれを単位ベクトルとして書けば良いので

\mathbb{n} = \frac{\frac{\part \mathbb{r}}{\part u} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part v}}{||\frac{\part \mathbb{r}}{\part u} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part v}||}

ですから、面積分は

\begin{eqnarray} \Omega &=& \int \int_{\qquad S} \qquad \mathbb{F} \cdot (\frac{\part \mathbb{r}}{\part u} \times \frac{\part \mathbb{r}}{\part v})dudv \\ &=& \int \int_{\qquad S} \qquad \begin{vmatrix} F_x & F_y & F_z \\ \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{vmatrix} dudv \end{array}
(*3)
となります。