■ - ナルト世界の謎を紐解く

尾獣の強さについて

今回は多少本格的（？）に尾獣の強さを考えます。
冗長になるかもしれないので、結果だけを見る場合は３のみ参照のこと。

１．定義

――で、再び尾獣の強さに関する定義を考えます。
性懲りもなく数値化して尾獣の強さを測定します。
より考えられる強さに近づけるために、今回はファジー理論っぽく考えてみましょう。

前回、尾獣の強さをその尾が一つ少ない尾獣までの強さを足していった和として考えました。
今回はある尾獣 $x$ 尾をファジー集合により $x$ 尾と決め、
ファジー集合のメンバシップ関数で代表的な関数を用いて概念的に考えます。

平たく言えば、三尾というのは“三尾”という突出した値をもっていて、
その他に例えば“四尾”の値が若干、“九尾”の値がほぼ0の割合といった感じで定義します。

$n$ 　を　 $1 \leq n \leq 9$ 　の整数として扱い、
$n$ 尾であるということは以下の定義に従うものとします。

メンバシップ関数 $\mu(x)$ を

$\mu_n(x)=\frac{\, 1 \,}{1+(x-n)^2}$
と定める。 $n$ 尾であることは、
$\mu_n(n)=1$
である。

さらに尾獣の強さを次のように定義します。

メンバシップ関数の要素 $n$ に対して、
$\Large J_n=\sum_{i=1}^{9} \Large \mu_n(i)$
とおくと、強さ $I_n$ は、

$\Large I_n=\frac{\Large n}{\Large J_n}$
で定義する。

$J_n$ はその尾獣が他の尾獣にどれだけの割合で属しているか、
その値を和として表したもので、これを逆数に扱うことで、
ファジー集合におけるその尾獣の位置と、
尾の数が強さに比例するという考え方を融合させることにします。

２．計算

例えば $J_1$ は次のように表されます。

$J_1=1+\frac{\, 1 \,}{2}+\frac{\, 1 \,}{5}+\frac{\, 1 \,}{10}+\frac{\, 1 \,}{17}+\frac{\, 1 \,}{26}+\frac{\, 1 \,}{37}+\frac{\, 1 \,}{50}+\frac{\, 1 \,}{65}$

これらを計算していくと、
$J_1=J_9=\frac{400611}{204425}=1.9597$
$J_2=J_8=\frac{999357}{408850}=2.4431$
$J_3=J_7=\frac{21459}{8177}=2.6243$
$J_4=J_6=\frac{5961}{2210}=2.6972$
$J_5=\frac{231}{85}=2.71647$

また $\mu_n(x)$ は以下のように $x=n$ に関して対称となります。
図は $n=3$ の例。

３．尾獣の強さ

したがって算出される尾獣の強さに関して、有効数字を５桁とすると、

尾獣	強さを表す数値 $I_n$
一尾 $(n=1)$	0.51028
二尾 $(n=2)$	0.81863
三尾 $(n=3)$	1.1432
四尾 $(n=4)$	1.4830
五尾 $(n=5)$	1.8406
六尾 $(n=6)$	2.2245
七尾 $(n=7)$	2.6674
八尾 $(n=8)$	3.2745
九尾 $(n=9)$	4.5925